Пераўтварэнне Гільберта

У матэматыцы і апрацоўцы сігналаў пераўтварэнне Гільберта — лінейны аператар, які супастаўляе кожнай функцыі $u(t)$ функцыю $H(u(t))$ у той жа вобласці.

Пераўтварэнне Гільберта можа быць вызначана ў сэнсе галоўнага значэння інтэграла па Кошы:

$H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}{\text{v.p.}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau$

Ці, больш відавочна:

$H(u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau .$

Пры двухразовым ужыванні пераўтварэння Гільберта функцыя змяняе знак:

$H(H(u))(t)=-u(t),\,$

пры ўмове, што абое пераўтварэнні існуюць.

Сувязь з пераўтварэннем Фур'е

Пераўтварэнне Гільберта з'яўляецца множнікам у спектральнай вобласці.

${\mathcal {F}}(H(u))(\omega )=-i\ \mathrm {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),$

дзе ${\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$ — варыянт прамога пераўтварэння Фур'е без множніка, які нарміруе.

Зваротнае пераўтварэнне

$H^{-1}=-H\,$

Гл. таксама

• Лічбава-тэарэтычныя пераўтварэнні
• Пераўтварэнне Фур’е
• Пераўтварэнне Лапласа
• Пераўтварэнне Гільберта-Хуанга

Спасылкі

• Пераўтварэнне Гільберта. Аналітычны сігнал. Архівавана 17 кастрычніка 2010.